Приведение подобных членов
В предыдущем примере было несколько случаев, когда меньший многочлен заменялся большим многочленом, поскольку значения коэффициентов были известны.
Таким образом, трехчлен был заменен восьмичленом. В большинстве случаев, однако, необходимо использовать обратное преобразование полинома. Концепция коэффициентов может быть использована для сокращения числа членов в многочлене. Самый простой пример выглядит следующим образом.
a + a + a + a + a + a — b — b — b = 4a — 3b x — y — y + x — y — y + x = 3x — 4y
Например, проиллюстрируем второй пример. В этом многочлене мы видим, что сумма (+x) повторяется три раза. Мы можем переставить члены многочлена так, чтобы три члена находились рядом друг с другом. В этом случае сумму +x + x + x + x + x можно заменить одним членом, то есть членом 3x, используя коэффициент +3. Затем, после перестановки терминов выше, остаются четыре термина, записанные рядом как -y — y — y, и коэффициент -4 может быть использован для замены этих четырех терминов одним -4y.
Некоторые примеры приведены ниже.
Рассмотрим еще один пример:
a — 2b + 3a — b + a — 3b
Если нам известны значения коэффициентов нескольких членов этого многочлена, мы можем заменить второй член -2b на -b — b, третий член +3a на +a + a + a + a + a + a и последний член -3b. Используя -b — b — b, a можно повторить пять раз в многочлене и выразить как +5, а -b можно повторить шесть раз и выразить как -6, используя множитель b. Т.е.
a — 2b + 3a — b + a — 3b = 5a — 6b
x + 9x — y — 7y + 11x — 2y + 4x = 25x — 10y a³ — 3a² + 14a³ — 2a² = 15a³ — 5a² и т.д.
Теперь давайте проведем двусторонний
Зная значения коэффициентов, допустим.
5a — 8a = a + a + a + a + a + a + a + a — a — a — a — a — a
Поскольку известно, что +a и -a аннулируют друг друга (или +a — a = 0), предыдущая сумма сводится к -a — a — a или -3a.
5x — 2x = x + x + x + x + x + x + x + x — x — x — x = 3x.
Теперь возьмем многочлен
12a — 4b — 3c + 4a + 7b — 2c — 6a — 4b + 5c.
Здесь мы видим, что сначала +a повторяется 12 раз из общего числа, затем 4 раза, затем -a повторяется 6 раз из общего числа. -6α аннулируется γ +6α, оставляя +α, который нужно повторить 10 раз от общего числа, получая член +10α.
Кроме того, члены -4b + 7b — 4b вместе дают только член -b, а члены -3c — 2c + 5c отменяют друг друга. Поэтому.
2a — 4b — 3c + 4a + 7b — 2c — 6a — 4b + 5c= 10a — b.
Такие упрощения многочленов, которые имели место в некоторых предыдущих примерах, называются сокращениями подобных членов в многочленах. Смысл этого преобразования заключается в том, чтобы иметь возможность заменить члены в многочлене, алфавитные коэффициенты которого в точности совпадают с членами.
Рассматриваемые здесь термины имеют один и тот же буквенный множитель и называются подобными терминами. Таким образом, члены 3a²b³ и -5a²b³ похожи и могут быть заменены одним членом, если они являются членами одного и того же многочлена, но члены 3a³b и -5a²b не похожи. То же самое: первый член имеет буквенный множитель a³, а второй член имеет множитель a², но не имеет a³. Эти два члена не могут быть объединены в один член, даже если они являются членами одного и того же многочлена.
Объединение похожих членов многочлена в один член называется преобразованием похожих членов.
Чтобы узнать, как быстрее выполнить это преобразование, рассмотрим следующие четыре базовых примера
1) 12ab² + 23ab² 2) -7a³b² — 8a³b² 3) 12a²b — 7a²b 4) 6a²b² — 11a²b²
Знание значений входящих сюда коэффициентов дает следующие результаты
12ab² + 23ab² = 35ab² -7a³b² — 8a³b² = -15a³b² 12a²b — 7a²b = 5a²b 6a²b² — 11a²b² = -5a²b²
Учитывая эти результаты, можно увидеть, что объединение похожих терминов не меняет буквенный множитель. Далее, в примере 1, коэффициенты двух одинаковых членов равны +12 и +23, что дает в результате коэффициент +35. Очевидно, что коэффициенты некоторых аналогичных терминов необходимо добавить. Во втором примере коэффициенты были -7 и -8, и в результате получился коэффициент = -15. Затем здесь нужно было выполнить сложение (чтобы сложить абсолютные значения и присвоить общий знак). В третьем примере мы имеем коэффициенты +12 и -7, в результате получается коэффициент +5. В четвертом примере из коэффициентов +6 и -11 получается коэффициент +5. -5. Если вы вспомните, что при сложении относительных чисел нужно численно вычесть их абсолютные значения (от наибольшего к наименьшему) и взять знак числа с большим абсолютным значением, то придете к выводу, что в этих случаях нужно также добавить коэффициент. Принятие дробных коэффициентов не меняет проблему. Хорошо.
Чтобы уменьшить число подобных членов полинома (т.е. объединить все подобные члены полинома в один), добавьте эти коэффициенты и оставьте символьные коэффициенты без изменений.
Конечно, если многочлен состоит из трех или более подобных членов, вы можете складывать их коэффициенты в любом порядке.
ПРИМЕР
